什么是影射定理？

什么是影射定理？

帕斯卡（1623 ~ 1662年）全名布莱斯.帕 斯卡，是17世纪的著名物理学家和天才数学 家。我们知道他在物理方面有液体压强方面 的帕斯卡定律，其实帕斯卡在数学上更是做 出了非凡的成就。

帕斯卡以神学家出名，他是概率的数学 理论的创始人，提出了几何影射定理，对科 学和哲学以及社会统计问题都有重大的现实 意义。1623年6月19日，帕斯卡出生在法国 的克莱蒙.菲朗市。他的父亲是一位很有 才华的数学家，这为帕斯卡在数学方面的 发展提供了良好的家庭环境。

1640年帕斯 卡就发表了关于圆锥曲线的论文，引出400 多条推论，提出了被迪沙格称为神秘的六 边形的影射几何基本定理，做出了自阿波 罗以来关于圆锥曲线的最重要的研究。

数 学史家认定，单就这个定理，就足以让帕 斯卡流芳百世。1642年，19岁的帕斯卡还发明了一种可 以做加减法的齿轮计算机，并获得专利，这 是世界第一台机械计算机。

牛莱定理？

牛顿－莱布尼茨公式

微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

基本信息

中文名 牛顿-莱布尼茨公式

外文名 Newton-Leibniz formula

别名 微积分基本定理

提出时间

1677年

适用领域

函数

分类

数学

提出

牛顿，莱布尼茨

简介

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

发展简史

1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。

1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。

德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。[1]

证明

牛顿-莱布尼茨公式

面就是该公式的证明全过程：

我们知道，对函数f(x)于区间【a,b】上的定积分表达为：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt

接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为【a,a】，故面积为0），所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

相关人物

牛顿

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

定理意义

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。